Question

增函数y=f（x），（x∈R）对任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求f（0）
（Ⅱ）求证f（x）为奇函数；
（Ⅲ）若f（k•3^x）+f（3^x-9^x+3）＜0对任意k∈[-1，1]恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据恒等式，赋值x=y=0，即可求得f（0）的值；
（Ⅱ）根据恒等式，赋值y=-x，即可得f（-x）+f（x）=f（0），再根据（Ⅱ）中的结论，即可得到f（-x）=-f（x），根据奇函数的定义，即可证明结论；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的结论，函数f（x）为奇函数，将不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x+3）＜0转化为f（k•3^x）＜f（-3^x+9^x-3），再根据已知条件函数f（x）为R上的增函数，利用单调性去掉“f”，将不等式转化为k•3^x＜-3^x+9^x-3对任意k∈[-1，1]成立，构造函数g（k）=3^2x-（1+k）•3^x-3，利用一次函数的性质，即可得到不等式组，求解不等式组，即可得到实数x的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y），得f（0+0）=f（0）+f（0），
即 f（0）=0；
（Ⅱ）令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y），得 f（x-x）=f（x）+f（-x），
又∵f（0）=0，
∴0=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，
∴f（x）是奇函数；
（Ⅲ）∵f（x）在R上是增函数，又由（Ⅱ）知f（x）是奇函数，
∴f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x+3）=f（-3^x+9^x-3），
∴k•3^x＜-3^x+9^x-3，
即3^2x-（1+k）•3^x-3＞0对任意k∈[-1，1]成立，
令g（k）=3^2x-（1+k）•3^x-3，
则

g(-1)＞0 g(1)＞0

，
即

32x-3＞0 32x-2•3x-3＞0

，
即

x＞ 1 2 x＞1

，
∴x＞1，
∴实数x的取值范围是x＞1．

点评：本题考查了抽象函数及其应用，函数单调性的应用和奇偶性的证明，函数的恒成立问题．证明函数的奇偶性要抓住函数奇偶性的定义，函数的恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合进行求解．属于中档题．