Question

已知二次函数.

（1）若，试判断函数零点个数；

（2）是否存在，使同时满足以下条件

①对任意，且；

②对任意,都有。若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

（3）若对任意且，，试证明存在，

使成立。

 

Answer 1

【答案】

（1）函数有两个零点。（2）当时，同时满足条件①、②. （3）利用零点存在性定理证明即可

【解析】

试题分析：（1） 

当时，

函数有一个零点； 3分

当时，，函数有两个零点。        5分

（2）假设存在，由①知抛物线的对称轴为x＝－1，

∴即    7分

由②知对,都有

令得又因为恒成立， 

，即，即

由得，   10分

当时，，

其顶点为（－1，0）满足条件①，又对,

都有，满足条件②.

∴存在，使同时满足条件①、②. .12分

（3）令，则

，

在内必有一个实根。即，

使成立   18分

考点：本题考查了函数的零点及恒成立问题

点评：①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.②二次函数的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.