Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若为曲线上两点， 求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当 时， 在 上单调递增； 当 时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；当 时， 的单调递增区间为，的单调递减区间为；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；

（Ⅱ）要证, 即证 ；即证,构造新函数，研究函数的最值即可.

（Ⅰ），

；

当 时， ， 在 上单调递增；

当 时，令 ，得 ，令 ，得 ；

所以，当 时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；

当 时， 的单调递增区间为，

的单调递减区间为 .

（Ⅱ）要证

即证

即证 ；

即证；

令，构造函数，

则，

所以 在上单调递增;

，即成立，所以成立，

所以 成立.