Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²（a，b∈R）
（1）若函数f（x）在x=1处有极值为10，求b的值；
（2）若对任意a∈[-4，+∞），f（x）在x∈[0，2]上单调递增，求b的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先对函数求导f'（x）=3x²+2ax+b，由题意可得f（1）=10，f′（1）=0，结合导数存在的条件可求
（2）解法一：f'（x）=3x²+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，构造关于a的函数F（a）=2xa+3x²+b≥0对任意a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，结合函数单调性可得F（a）_min=F（-4）从而有b≥（-3x²+8x）_max，
解法二：f'（x）=3x²+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，即b≥-3x²-2ax对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，即b≥（-3x²-2ax）_max．构造函数，结合二次函数的性质进行求解函数F（x）的最大值
解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b
则…（5分）
当时，f'（x）=3x²+8x-11，△=64+132＞0，所以函数有极值点；
当，所以函数无极值点；
则b的值为-11．…（7分）
（2）解法一：f'（x）=3x²+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立
则F（a）=2xa+3x²+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立∵x≥0，F（a）在a∈[-4，+∞）单调递增或为常数函数
所以得F（a）_min=F（-4）=-8x+3x²+b≥0对任意的x∈[0，2]恒成立，
即b≥（-3x²+8x）_max，又，当时，得，所以 b的最小值为． …（15分）
解法二：f'（x）=3x²+2ax+b≥0对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立
即b≥-3x²-2ax对任意的a∈[-4，+∞），x∈[0，2]都成立，
即b≥（-3x²-2ax）_max．令
①当a≥0时，F（x）_max=0，∴b≥0；
②当．
又∵，∴．
综上，b的最小值为．…（15分）
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，利用构造函数的思想把恒成立转化为求解函数的最值问题，要注意构造思想在解题中的应用．