Question

（1）已知，且tanα•tanβ＜1，比较α+β与的大小；
（2）试确定一个区间D，，对任意的α、β∈D，当时，恒有sinα＜cosβ；并说明理由．
说明：对于第（2）题，将根据写出区间D所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正切化为正弦、余弦，和角公式求出cos（α+β）＞0，根据，推出α+β与的大小．
（2）直接在内找出一个子区间，区间是固定的，也可以是变化的，对任意的α、β∈D，当时，恒有sinα＜cosβ，利用函数的单调性，三角函数的符合特征，加以证明即可．
解答：解：（1）∵
∴（2分）=＞cos（α+β）＞0（2分）
∵α+β∈（0，π）
∴（2分）
（2）第一类解答：（1）若取或取等固定区间且D是的子集并说明理由者给（2分），
（2）若取D=[γ₁，γ₂]，，并说明理由者给（3分）
理由：
若取，，
则-1＜sinα＜0，0＜cosβ＜1，即sinα＜cosβ；
第二类解答：（1）若取或取等固定区间且D是的子集，且解答完整得（4分）
（2）若取D是的子集且区间的一端是变动者．且解答完整得（5分）
（3）若取D=[γ₁，γ₂]，，且解答完整得（6分）
取D=[γ₁，γ₂]，
证明如下，设α，β∈[γ₁，γ₂]，，
又，
则，
因为-γ₂≤-β≤γ₁，，
而，，
即：，于是由α，β∈[γ₁，γ₂]，，且
以及正弦函数的单调性得：，即：0＜sinα＜cosβ
第三类解答：
（1）若取或取等固定区间且D是的子集（两端需异号），且解答完整得（6分）
（2）若取D是的子集且区间的一端是变动者（两端需异号）．且解答完整得（7分）
（3）若取取D=[γ₁，γ₂]，，（γ₁与γ₂需异号）且解答完整得（8分）
若取，
因为：，，
则
亦有：，
这时，，，
而为，
所以有sinα＜cosβ．
（如出现其它合理情况，可斟酌情形给分，但最高不超过8分）．
点评：本题考查比较大小，正弦函数的单调性，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．