Question

函数f(x)=

ax2+1，x≥0 (a2-1)eax，x＜0

在(-∞，+∞)上单调，则a的取值范围是

（-∞，-

2

]∪（1，

2

]

．

Answer 1

分析：分类（1）若a＞0，则函数f（x）应为增函数，要保证两段均为增函数，且在x=0处的值，第一段大于等于第二段，建立不等式组解之可得；（2）若a＜0，f（x）应为减函数，要保证两段均为减函数，且在x=0处的值，第一段小于等于第二段解之可得，综合考虑即可．

解答：解：（1）若a＞0，则函数f（x）应为增函数，
可得

a＞0 a2-1＞0 a×02+1≥(a2-1)ea×0

，即

a＞0 a＜-1，或a＞1 - 2 ≤a≤ 2

，
解得1＜a≤

2

；
（2）若a＜0，f（x）应为减函数，
可得

a＜0 a2-1＞0 a×02+1≤(a2-1)ea×0

，即

a＜0 a＜-1，或a＞1 a≤- 2 ，或a≥ 2

，
解得a≤-

2

综上可得a的范围为：（-∞，-

2

]∪（1，

2

]
故答案为：（-∞，-

2

]∪（1，

2

]

点评：本题考查分段函数的单调性，涉及分类讨论的思想，属中档题．