Question

设O为坐标原点，P点坐标为（2，1）．若A，B分别是x轴正半轴及y轴正半轴上的点，使得PA⊥PB，则△OAB面积的最大值为

25

16

．

Answer 1

分析：由两直线垂直的性质可得

1-0

2-a

×

b-1

0-2

=-1，化简可得 2a+b=5≥2

2ab

，可得ab 的最大值，从而求得△OAB面积

1

2

ab 的最大值．

解答：解：设A （a，0 ）、B（ 0，b），且a＞0，b＞0．
∵P点坐标为（2，1），PA⊥PB，
∴

1-0

2-a

×

b-1

0-2

=-1，
化简可得 2a+b=5≥2

2ab

，
∴ab≤

25

8

，当且仅当 2a=b=

5

2

 时，等号成立．
故△OAB面积

1

2

ab 的最大值为

1

2

×

25

8

=

25

16

，
故答案为

25

16

．

点评：本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于-1，以及基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，属于中档题．