Question

（2010•湖北模拟）设A、B分别是x轴，y轴上的动点，P在直线AB上，且

AP

=

3

2

PB

，|

AB

|=2+

3

．
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）已知E上定点K（-2，0）及动点M、N满足

KM

•

KN

=0，试证：直线MN必过x轴上的定点．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），A（x_A，0），B（0，y_B）．则

AP

=（x-x_A，y），

PB

=（-x，y_B-y）．由

AP

=

3

2

PB

，得x_A=x+

3

2

x，y_B=y+

2

3

y．由|

AB

|=2+

3

，得到动点P的轨迹E的方程．
（2）设KM：y=k（x+2）（k≠0）与3x²+4y²-12=0联立，得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，然后由根与系数的关系能够导出直线MN的方程，令y=0得直线MN必过x轴上的定点．

解答：解：（1）设P（x，y），A（x_A，0），B（0，y_B）．
则

AP

=（x-x_A，y），

PB

=（-x，y_B-y）．
由

AP

=

3

2

PB

，
得x_A=x+

3

2

x，y_B=y+

2

3

y．
由|

AB

|=2+

3

，
得到动点P的轨迹E的方程．
3x²+4y²-12=0．
可得点P的轨迹E的方程：

x2

4

+

y2

3

=1（5分）
（2）设KM：y=k（x+2）（k≠0）与3x²+4y²-12=0联立
（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0
设M（x₁，y₁），
则x₀+x₁=-

16k2

3+4k2

，x₁=

16k2

3+4k2

+2=

6-8k2

3+4k2

y₁=k（x+2）=

12k

3+4k2

∴M（

6-8k2

3+4k2

，

12k

3+4k2

）
设KN：y=-

1

k

（x+2）（k≠0），
同理可得：N（

6k2-8

3k2+4

，-

12k

3k2+4

）（8分）
k_MN=

yM-yN

xM-xN

=-

7k

4(k2-1)

  （k²≠1）（10分）
则MN：y-

12k

3+4k2

=-

7k

4(k2-1)

（x-

6-8k2

3+4k2

）
化简可得y=-

7k

4(k2-1)

（x+

2

7

）
即MN过定点（-

2

7

，0），另MN斜率不存在时，也过（-

2

7

，0）（13分）
∴直线M、N必过定点（-

2

7

，0）．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意挖掘隐含条件，根据实际情况注意公式的灵活运用．