Question

6．函数y=$\frac{-{x}^{2}+98x+35}{2（x+1）}$（x≥0）的最大值是42．

Answer 1

分析 设t=x+1（t≥1），则x=t-1，化简函数y=50-（$\frac{t}{2}$+$\frac{32}{t}$），再由基本不等式，即可得到所求最大值，注意等号成立的条件．

解答 解：设t=x+1（t≥1），则x=t-1，
y=$\frac{-（t-1）^{2}+98（t-1）+35}{2t}$
=50-（$\frac{t}{2}$+$\frac{32}{t}$）≤50-2$\sqrt{\frac{t}{2}•\frac{32}{t}}$
=50-8=42．
当且仅当$\frac{t}{2}$=$\frac{32}{t}$，即t=8，x=7时，取得等号．
即有函数的最大值为42．
故答案为：42．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和基本不等式，考查运算化简能力，属于中档题．