Question

称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：
①；②.
（1）若等比数列为阶“期待数列”，求公比q及的通项公式；
（2）若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记n阶“期待数列”的前k项和为：
（i）求证：；
（ii）若存在使，试问数列能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.

Answer 1

（1）．或；
（2）；
（3）（i）证明见解析；（ii）不能，证明见解析．

解析试题分析：（1）数列中等比数列，因此是其前和，故利用前前项和公式，分和进行讨论，可很快求出，或；（2）阶等差数列是递增数列，即公差，其和为0，故易知数列前面的项为负，后面的项为正，即前项为正，后项为正，因此有，，这两式用基本量或直接相减可求得，，因此通项公式可得；（3）（i）我们只要把数列中所有非负数项的和记为，所有负数项的记为，则，不可能比小，同样不可能比大，即，得证；（ii）若，则一定有，，且，若数列为n阶“期待数列”，设其前项和为，首先，而，，因此，即，，从而，于是，那么，矛盾出现了，故结论是否定的．
试题解析：（1）①若，由①得，，得，矛盾．     1分
若，则由①=0，得，     3分
由②得或．
所以，．数列的通项公式是
或            4分
（2）设等差数列的公差为，>0．
∵，∴，∴，
∵>0，由得，，
由①、②得，，     6分
两式相减得，， ∴，
又，得，
∴数列