Question

关于x的不等式

.

x+a 2 1 x

.

＜0的解集为（-1，b）．
（1）求实数a、b的值；
（2）若z₁=a+bi，z₂=cosα+isinα，且z₁z₂为纯虚数，求cos(2α-

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）将原不等式转化为（x+a）x-2＜0，即x²+ax-2＜0，根据解集为（-1，b）得到-1，b是方程x²+ax-2=0的两个根，结合根与系数的关系即可列出关于a，b的方程组，并利用解二元一次方程组的方法即可求解
（2）根据z₁z₂为纯虚数，得知实部为0，虚部不为0，即可得到关于α的条件式

cosα+2sinα=0 2cosα-sinα≠0

并解得：tanα=-

1

2

，再利用两角差的余弦，倍角公式和同角的三角关系将cos(2α-

π

3

)化为关于tanα的代数式

1

2

×

1-tan2α

1+tan2α

+

3

2

×

2tanα

1+tan2α

即可求解

解答：解：（1）原不等式等价于（x+a）x-2＜0，
  即x²+ax-2＜0
由题意得，

-1+b=-a -1×b=-2

解得a=-1，b=2．
（2）z₁=-1+2i，z₁z₂=（-cosα-2sinα）+i（2cosα-sinα）
若z₁z₂为纯虚数，则

cosα+2sinα=0 2cosα-sinα≠0

，
解得tanα=-

1

2

cos(2α-

π

3

)=

1

2

cos2α+

3

2

sin2α=

1

2

×

1-tan2α

1+tan2α

+

3

2

×

2tanα

1+tan2α

=

3-4 3

10

．

点评：本题考查了二阶矩阵，两角和与差的余弦函数及解三角方程的能力，属于基础题．