题目内容

18．观察下列式子：1+$\frac{1}{{2}^{2}}$＜$\frac{3}{2}$，1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$＜$\frac{5}{3}$，1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$＜$\frac{7}{4}$，…，根据以上式子可以猜想：1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{201{6}^{2}}$＜$\frac{4031}{2016}$．

分析 由题意，根据所给式子，右边分子是2n-1，分母是n，可得结论

解答 解：由题意，根据所给式子，右边分子是2n-1，分母是n，可得结论为$\frac{4031}{2016}$，
故答案为$\frac{4031}{2016}$．

点评 本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

练习册系列答案
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8．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$CD．
（Ⅰ）求证：面PAD⊥面PAC；
（Ⅱ）若AB=1，求三棱锥D-PBC的高．
9．不等式$\frac{1}{x-1}$＜-1的解集为（0，1）．
6．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、AE、D1C的中点，AD=AA1，AB=2AD
（Ⅰ）证明：MN∥平面ADD1A1
（Ⅱ）求直线AD与平面DMN所成角的余弦值．
13．已知椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）在y轴上的一个顶点为M，两个焦点分别是F1，F2，∠F1MF2=120°，△MF1F2的面积为$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆G的方程；
（2）过椭圆G长轴上的点P（t，0）的直线l与椭圆O：x2+y2=1相切于点Q（Q与P不重合），交椭圆G于A，B两点，若|AQ|=|BP|，求实数t的值．
3．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点P（-2，0）与点（1，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）过P点作两条互相垂直的直线PA，PB，交椭圆于A，B．
①证明直线AB经过定点；
②求△ABP面积的最大值．
10．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，若此最小值为$2\sqrt{2+\sqrt{2}}$，则a的值是（　　）
A．1B．2C．3D．4
7．平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示，这使得我们可以用向量作为解析几何的研究工具，例如，设直线l的倾斜角α（α≠90°），在l上任取两个不同的点P1（x1，y2），P2（x2，y2），不妨设向量$\overrightarrow{{P_1}{P_2}}$的方向是向上的，那么向量$\overrightarrow{{P_1}{P_2}}$的坐标为（x2-x1，y2-y1），过原点作向量$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{{P_1}{P_2}}$，则点P的坐标是（x2-x1，y2-y1），而直线OP的倾斜角也是α（α≠90°），根据正切函数的定义得k=tanα=$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{x{\;}_2-{x_1}}}$；利用向量工具研究下列直线Ax+By+C=0，（ABC≠0）有关问题；
（1）、判断向量$\overrightarrow m$=（A，B）与直线Ax+By+C=0的关系，并说明理由；
（2）、直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0相交，求两直线夹角的余弦值；
（3）、用向量知识推导点P0（x0，y0）到直线Ax+By+C=0，（ABC≠0）的距离公式．
8．在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点P（a，b）在直线x+2y-2=0上，则$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}{b}$的最小值是$\frac{9}{2}$．

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