Question

已知复数z=(2^x+a)+(2^-x+a)i,x,a∈R,当x在(-∞,+∞)内变化时,试求|z|的最小值g(a).

Answer 1

思路分析:设法表示出|z|来,然后转化求解,针对a的情况进行讨论.

解:|z|²=(2^x+a)²+(2^-x+a)²=2^2x+2^-2x+2a(2^x+2^-x)+2a².

令t=2^x+2^-x,则t≥2,且2^2x+2^-2x=t²-2.

从而|z|²=t²+2at+2a²-2=(t+a)²+a²-2,

当-a≥2,即a≤-2时,g(a)=;

当-a＜2,即a＞-2时,g(a)=|a+1|.