Question

在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°，
求：（1）直线PA与底面ABCD所成的角；
（2）四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）在四棱锥P-ABCD中，说明∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PAO是PA与平面ABCD所成的角．△AOB是直角三角形，求出∠BAO=30°，即可．
（2）在Rt△POB中，求出PO=BOtan60°=

3

，求出底面菱形的面积为S=AB×ADsin60°=2

3

，然后求出四棱锥P-ABCD的体积．

解答：解：（1）在四棱锥P-ABCD中，由PO⊥平面ABCD，
得PO⊥AO，PO⊥BO，
所以∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，
所以∠PBO=60°，且∠PAO是PA与平面ABCD所成的角．（4分）
因为底面ABCD是菱形，O是对角线的交点，∠DAB=60°
所以△AOB是直角三角形，
且∠BAO=30°，（5分）
（2）在Rt△AOB中，BO=ABsin∠BAO=2sin30°=1，AO=ABcos∠BAO=

3

（7分）
于是在Rt△POB中，得PO=BOtan60°=

3

，
所以在Rt△POA中，tan∠PAO=

PO

AO

=1，∠PAO=45°，
所以PA与平面ABCD所成的角为45°（9分）
而底面菱形的面积为S=AB×ADsin60°=2

3

．
所以四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

×2

3

×PO=

2 3

3

×

3

=2．（13分）

点评：本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．