Question

已知

x

，

f(x)

2

，

3

(x≥0)成等差数列．又数列{a_n}（a_n＞0）中，a₁=3，此数列的前n项的和S_n（n∈N₊）对所有大于1的正整数n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求数列{a_n}的第n+1项；
（2）若bn=

3

Sn

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：1≤T_n＜2（n∈N₊）

Answer 1

分析：（1）由

x

，

f(x)

2

，

3

(x≥0)成等差数列，知

f(x)

2

×2=

x

+

3

，所以f(x)=(

x

+

3

)2．由S_n=f（S_n-1），（n≥2），知Sn=f(Sn-1)=(

Sn-1

+

3

) 2，由此能求出数列{a_n}的第n+1项．
（2）由bn=

3

Sn

=

1

n2

＜

1

(n-1)n

（n≥2），Tn=b1+b2+b3+…+bn＜1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=2，由此能证明1≤T_n＜2（n∈N₊）．

解答：解：（1）∵

x

，

f(x)

2

，

3

(x≥0)成等差数列，
∴

f(x)

2

×2=

x

+

3

∴f(x)=(

x

+

3

)2．（2分）
∵S_n=f（S_n-1），（n≥2），
∴Sn=f(Sn-1)=(

Sn-1

+

3

) 2，
∴

Sn

=

Sn-1

+

3

，

Sn

-

Sn-1

=

3

，
∴{

Sn

}是以

3

为公差的等差数列．（4分）
∵a₁=3，
∴S₁=a₁=3，
∴

Sn

=

S1

+(n-1)

3

=

3

+

3

n-

3

=

3

n，
∴S_n=3n²（n∈N₊）．
∴a_n+1=S_n+1-S_n=3（n+1）²-3n²=6n+3．（6分）
（2）由（1）得bn=

3

Sn

=

1

n2

＜

1

(n-1)n

（n≥2）（8分）
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn＜1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=2（11分）
显然T_n≥b₁=1，
综上1≤T_n＜2（n∈N₊）（12分）

点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．注意裂项求和中的灵活运用．易错点是计算量大，且比较繁琐，容易出错．