Question

已知

x

，

f(x)

2

，

3

(x≥0)成等差数列．又数列a_n（a_n＞0）中a₁=3此数列的前n项的和S_n（n∈N₊）对所有大于1的正整数n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求数列a_n的第n+1项；
（2）若

bn

是

1

an+1

 

1

an

的等比中项，且T_n为{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析：（1）有

x

，

f(x)

2

，

3

(x≥0)成等差数列，利用等差数列定义得到f（x）的函数解析式，再利用S_n=f（S_n-1）得到数列a_n的关于前n项和式子，在有前n项和求出数列的第n+1项；
（2）由于

bn

是

1

an+1

 

1

an

的等比中项，所以可以利用等比中项的定义得到数列b_n的通项公式，在利用裂项相消法可以求{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵

x

，

f(x)

2

，

3

(x≥0)成等差数列，
∴

f(x)

2

×2=

x

+

3

∴f(x)=(

x

+

3

)2∵S_n=f（S_n-1）（n≥2），∴Sn=f(Sn-1)=(

Sn-1

+

3)

2
∴

Sn

=

Sn-1

+

3

，  

Sn

-

Sn-1

=

3

  
∴{

Sn

}是以

3

为公差的等差数列．
∵a₁=3∴S₁=3，∴

Sn

=

S1

+(n-1)

3

=

3

n，
∴S_n=3n²（n∈N⁺） 
∴a_n+1=S_n+1-S_n=3（n+1）²-3n²=6n+3；
（2）∵数列

bn

是

1

an+1

 ，

1

an

的等比中项，
∴(

bn

)2=

1

an+1

×

1

an

 
∴bn=

1

an+1an

=

1

3(2n+1)×3(2n-1)

=

1

18

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)  
Tn=b1+b2+…+bn=

1

18

[(1-

1

3

)+( 

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

18

(1-

1

2n+1

)

点评：此题考查了已知数列的前n项和求通项，等差数列的定义及等比中项，还考查了裂项相消法求数列的前n项的和．