Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2n），$\overrightarrow{b}$=（m+n，m）（m＞0，n＞0），若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=1$，则m+n的最小值为$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 进行数量积的坐标运算得到m+n+2mn=1，根据基本不等式便有$mn≤（\frac{m+n}{2}）^{2}$，从而便得到不等式（m+n）²+2（m+n）-2≥0，根据m＞0，n＞0，从而解该关于m+n的一元二次不等式便可得到$m+n≥\sqrt{3}-1$，从而m+n的最小值便为$\sqrt{3}-1$．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=m+n+2mn=1$；
∵m＞0，n＞0；
∴$mn≤（\frac{m+n}{2}）^{2}$；
∴$1≤（m+n）+\frac{（m+n）^{2}}{2}$；
即（m+n）²+2（m+n）-2≥0；
解关于m+n的一元二次不等式得，$m+n≥\sqrt{3}-1$，或m$+n≤-1-\sqrt{3}$（舍去）；
∴m+n的最小值为$\sqrt{3}-1$，当m=n时取“=”．
故答案为：$\sqrt{3}-1$．

点评 考查向量数量积的坐标运算，基本不等式：a+b$≥2\sqrt{ab}$，a＞0，b＞0，以及解一元二次不等式．