Question

已知数列{a_n}中，a1=

2

3

，a2=

8

9

．当n≥2时，3a_n+1=4a_n-a_n-1（n∈N^*）
（1）证明：{a_n+1-a_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项；
（3）若数列{b_n}满足b_n=n•a_n，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）由题意，当n≥2，3a_n+1=4a_n-a_n-1?3a_n+1-3a_n=a_n-a_n-1
所以an+1-an=

1

3

(an-an-1)，
所以{an+1-an}是以a2-a1=

2

9

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
（2）由（1）得an+1-an=

2

9

(

1

3

)n-1，an-an-1=

2

9

(

1

3

)n-2…a2-a1=

2

9

(

1

3

)0
累加得an-a1=1-(

1

3

)n，得an=1-(

1

3

)n
（3）bn=n-

n

3n

Sn=(1-

1

3

)+(2-

2

32

)+…+(n-

n

3n

)
=(1+2+…+n)-(

1

3

+

2

32

+…+

n

3n

)=-

3

4

+

2n+3

4•3n

+

n(n+1)

2