Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，AB⊥BC，O为AC中点．
（1）证明：A₁O⊥平面ABC；
（2）若E是线段A₁B上一点，且满足，求A₁E的长度．

Answer 1

【答案】分析：（1）由等腰三角形三线合一，可得A₁O⊥AC，进而由侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，结合面面垂直的性质定理可得A₁O⊥平面ABC；
（2）由，可得，即，解Rt△A₁OB求出A₁B，进而可得A₁E的长度
解答：证明：（1）∵AA₁=A₁C=AC=2，且O为AC中点，
∴A₁O⊥AC，
又∵侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，侧面AA₁C₁C∩底面ABC=AC，A₁O?侧面AA₁C₁C，
∴A₁O⊥平面ABC．（6分）
解：（2），
因此，
即，
又在Rt△A₁OB中，A₁O⊥OB，，BO=1
可得A₁B=2，
则A₁E的长度为．（12分）
点评：本小题以斜三棱柱为考查载体，考查平面几何的基础知识．同时题目指出侧面的一条高与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构．本题通过分层设计，考查了空间直线垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．