Question

(08年石景山区统一测试)（14分）

如图，在四棱锥中，⊥底面，底面为正方形，，、分别是、的中点.

    （Ⅰ）求证：；

    （Ⅱ）求二面角的大小；

    （Ⅲ）在平面内求一点，使⊥平面，并证明你的结论．

Answer 1

解析：解法一：

（Ⅰ）证明：

      ∵ 、分别是、的中点,

      ∴ .

      ∵ 是正方形，

      ∴ .

      又 底面，

      ∴ 是斜线在平面内的射影.

      ∴ .

      ∴ .                               …………4分

 

（Ⅱ）连结交于，过作于，连结、.

      ∵ 分别为，中点，

  ∴ ∥.

 ∵ 底面，

 ∴ ⊥底面.

 ∴ 是斜线在平面内的射影.

 ∴ .

 ∴ 是二面角的平面角.        ……………………………7分

 经计算得：，.

 ∴ .

 即二面角的大小为.         ……………………………9分

（Ⅲ）取的中点，连结.

∵ ，

∴ .

又易证平面，

∴ .

又 ，

∴ 平面.                         ……………………………11分

取中点，连结、.

∴ ，且.

∴ 四边形为平行四边形.

∴ .

∴ ⊥平面.

即当是的中点时，⊥平面.

                                             ……………………………14分

解法二：

  以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），则

 

、、、、、、.

                                                 ……………………………2分

（Ⅰ）∵，，

 ∴ .

 ∴                                 ……………………………5分

（Ⅱ）∵ ⊥底面，

 ∴ 平面的法向量为.          ……………………………6分

设平面的法向量为

由得即

令，则，．

∴ ．                               ……………………………9分

∴ .

即二面角的大小为.       ……………………………11分

（Ⅲ）设，则平面．

∴ ．

由，得．由，得．

∴ 点坐标为，即为中点时，⊥平面.    ………14分