Question

【题目】已知．

（1）若关于的方程在上恒成立，求的值；

（2）证明：当时， ．

Answer 1

【答案】（1）;（2）见解析

【解析】试题分析：（1）令，讨论的取值，只需即可；

（2）由（1）知时， ，即恒成立，令，即，一次赋值，再累加得，再取对数即可.

试题解析：

（1）令，

若，与已知矛盾，

若，则，显然不满足在上恒成立，

若，对求导可得，

由解得，由解得，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴， ∴要使恒成立，则须使成立，

即恒成立，两边取对数得， ，整理得，即须此式成立，

令，则，显然当时， ，当时， ，于是函数的上单调递减，在单调递增，

∴，即当且仅当时， 恒成立，

∴满足条件，综上所述， ．

（2）由（1）知时， ，即恒成立，

令，即，

即，同理， ，

，

，

将上式左右相加得： ，

即，即．