Question

已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方程是，且双曲线过点.

   （1）求此双曲线的方程；

（2）设直线过点，其方向向量为，令向量满足.双曲线的右支上是否存在唯一一点，使得. 若存在，求出对应的值和的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）

（2），.

解析:

（1）设双曲线的方程为，将点代入可得，

        双曲线的方程为.

   （2）依题意，直线 的方程为 .设是双曲线右支上满足

 的点，结合 ，得，

即点到直线的距离 

    ①若，则直线与双曲线的右支相交，此时双曲线的右支上有两个点到直线的距离为1，与题意矛盾；

②若，则直线在双曲线右支的上方，故，从而

. 又因为 ，所以

.

当时，方程有唯一解 ，则；

当时，由得 ，此时方程有唯一解 ，则

综上所述，符合条件的值有两个：，此时；，此时.