题目内容
已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点(4，-
)，A点坐标为（0，2），则双曲线上距点A距离最短的点的坐标是
| 10 |
(±
，1)
| 7 |
(±
，1)
．| 7 |
分析：根据题意该双曲线是等轴双曲线，设方程为x2-y2=λ（λ≠0），代入已知点坐标算出λ=6，从而得到双曲线方程．再设点P（m，n）是双曲线上的动点，将PA长表示为m、n的式子，结合双曲线方程和二次函数求最值的方法，可得当P的纵坐标为1时P、A的距离最短，由此不难得到双曲线上距点A距离最短的点的坐标．
解答：解：∵双曲线一条渐近线方程为y=x，
∴双曲线是等轴双曲线，设方程为x2-y2=λ（λ≠0）
∵点(4，-
)在双曲线上，
∴42-（-
）2=λ，解得λ=6
因此，双曲线方程为x2-y2=6，
设点P（m，n）是双曲线上的动点，得
|PA|=
=
当且仅当n=1时，|PA|有最小值
，此时m=±
∴双曲线上的P坐标是（±
，1）时，P距点A的距离最短．
故答案为：（±
，1）
∴双曲线是等轴双曲线，设方程为x2-y2=λ（λ≠0）
∵点(4，-
| 10 |
∴42-（-
| 10 |
因此，双曲线方程为x2-y2=6，
设点P（m，n）是双曲线上的动点，得
|PA|=
| m2+(n-2)2 |
| 2n2-4n+4 |
当且仅当n=1时，|PA|有最小值
| 2 |
| 7 |
∴双曲线上的P坐标是（±
| 7 |
故答案为：（±
| 7 |
点评：本题给出等轴双曲线上一个动点，求该点到（0，2）距离的最小值，着重考查了两点之间的距离公式、双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
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