Question

设函数，其中是的导函数.
，
(1)求的表达式；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，比较与的大小，并加以证明.

Answer 1

（1）；（2）；（3），证明见解析.

试题分析：（1）易得，且有，当且仅当时取等号，当时，，当时，由，得，所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列，继而得，经检验，所以；
在范围内恒成立，等价于成立，令 ，即成立，，令，得，分和两种情况讨论，分别求出的最小值，继而求出的取值范围；
（3）由题设知：，，比较结果为：，证明如下：上述不等式等价于
在（2）中取，可得，令，则，即，使用累加法即可证明结论.
试题解析：，，
（1）
，，，，即，当且仅当时取等号
当时，
当时

，，即
数列是以为首项，以1为公差的等差数列


当时，

（2）在范围内恒成立，等价于成立
令，即恒成立，

令，即，得
当即时，在上单调递增

所以当时，在上恒成立；
当即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以
设

因为，所以，即，所以函数在上单调递减
所以，即
所以不恒成立
综上所述，实数的取值范围为
（3）由题设知：，

比较结果为：
证明如下：
上述不等式等价于
在（2）中取，可得
令，则，即
故有


上述各式相加可得：
结论得证.