Question

4．已知数列{a_n}是各项均为正数的等差数列，首项a₁=1，其前n项和为S_n，数列{b_n}是等比数列，首项b₁=2，且b₂S₂=16，b₃S₃=72．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c₁=1，c_2k=a_2k-1，c_2k+1=a_2k+kb_k，其中k=1，2，3…，求数列{c_n}的前2n+1项和T_2n+1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则d＞0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则d＞0，
依题意有$\left\{\begin{array}{l}{b_2}{S_2}=2q（2+d）=16\\{b_3}{S_3}=2{q^2}（3+3d）=72\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}d=2\\ q=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}d=-\frac{2}{3}\\ q=6\end{array}\right.$（舍去），
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，${b_n}=2•{2^{n-1}}={2^n}$．
（Ⅱ）T_2n+1=c₁+c₂+c₃+c₄+…+c_2n+1，
∴T_2n+1=c₁+a₁+（a₂+b₁）+a₃+（a₄+2b₂）+…+a_2n-1+（a_2n+nb_n）=1+S_2n+（b₁+2b₂+…+nb_n），
令${M_n}={b_1}+2{b_2}+…+n{b_n}=2+2×{2^2}+3×{2^3}+…+n×{2^n}$①
∴$2{M_n}={2^2}+2×{2^3}+3×{2^4}+…+n×{2^{n+1}}$②，
∴①-②得：$-{M_n}=2+{2^2}+…+{2^n}-n×{2^{n+1}}=\frac{{2-{2^{n+1}}}}{1-2}-n×{2^{n+1}}=（1-n）{2^{n+1}}-2$，
∴${M_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2$，
∵${S_{2n}}=\frac{2n（1+4n-1）}{2}=4{n^2}$，
∴${T_{2n+1}}=1+4{n^2}+（n-1）{2^{n+1}}+2=3+4{n^2}+（n-1）{2^{n+1}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．