题目内容

已知函数 $数学公式$ 的定义域为[m，n]，且1≤m＜n≤2．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：对任意x₁、x₂∈[m，n]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜1．

解：（1） $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∵1≤m≤x＜n≤2，
∴ $\text{[math]}$ ，
x²-mx+mn=x（x-m）+mn＞0，
x+ $\text{[math]}$ ，
令f′（x）=0，得x= $\text{[math]}$ ，
当x∈ $\text{[math]}$ 时，f′（x）＞0，
当 $\text{[math]}$ 时，f′（x）＜0．
∴f（x）在[m， $\text{[math]}$ ]内，单调递减；
在[ $\text{[math]}$ ]内，单调递增．
（2）由（1）知，f（x）在[m，n]上的最小值为f（ $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ ，
最大值为f（m）= $\text{[math]}$ ，
对任意x₁，x₂∈[m，n]，
|f（x₁）-f（x₂）|≤ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$ ，h（μ）=μ⁴-4μ²+4μ-1，
∵1≤m＜n≤2，
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
∵h（μ）=4μ³-8μ+4
= $\text{[math]}$ ＞0，
∴h（μ）在（1， $\text{[math]}$ ）上是增函数，
∴h（μ） $\text{[math]}$ =4-8+4 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ＜1，
∴对任意x₁、x₂∈[m，n]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜1．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，1≤m≤x＜n≤2，知 $\text{[math]}$ ，x²-mx+mn=x（x-m）+mn＞0，x+ $\text{[math]}$ ，令f′（x）=0，得x= $\text{[math]}$ ，由此能求出函数f（x）的单调性．
（2）由（1）知，f（x）在[m，n]上的最小值为f（ $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ ，最大值为f（m）= $\text{[math]}$ ，对任意x₁，x₂∈[m，n]，|f（x₁）-f（x₂）|≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能够证明对任意x₁、x₂∈[m，n]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜1．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．