Question

已知f（x）=sinx，x∈R，g（x）的图象与f（x）的图象关于点(

π

4

，0)对称，则在区间[0，2π]上满足f（x）≤g（x）的x的取值范围是

[

3π

4

，

7π

4

]

．

Answer 1

分析：设（a，b）为f（x）上任意一点，设此点关于点(

π

4

，0)对称的点为：（x，y），建立（a，b）与（x，y）的关系，求出g（x），最后求出x的范围即可．

解答：解：∵f（x）=sinx，x∈R，而g（x）的图象与f（x）的图象关于点(

π

4

，0)对称，设（a，b）为f（x）上任意一点，
设此点关于点(

π

4

，0)对称的点为：（x，y），根据题意有：

a+x= π 2 b+y=0

，解得

a= π 2 -x b=-y

．
∵（a，b）为f（x）上任意一点，∴b=sina，即：-y=sin（

π

2

-x），∴y=g（x）=-cosx．
∴在区间[0，2π]上，由f（x）≥g（x）可得sinx≤-cosx，即 sinx+cosx≤0，即

2

sin（x+

π

4

）≤0，即 sin（x+

π

4

）≤0．
故有 π≤x+

π

4

≤2π，由此可得x的范围是：

3π

4

≤x≤

7π

4

，
故答案为[

3π

4

，

7π

4

]．

点评：本题主要考查正弦函数的对称性，求一个函数图象关于某个点对称的图象所对应的函数解析式，属于中档题．