Question

6．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）在[0，1]上递增”是“f（x）在[1，2]上递减”的（　　）

• A． 既不充分也不必要条件
• B． 充要条件
• C． 必要而不充分条件
• D． 充分而不必要条件

Answer 1

分析 根据充分条件和必要条件的定义结合函数周期性和奇偶性和单调性之间的关系进行判断即可．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）在[0，1]上递增，
∴f（x）在[-1，0]上递递减，
则f（x）在[1，2]上递减，
反之若f（x）在[1，2]上递减，
∵函数f（x）是周期为2的周期函数，
∴f（x）在[-1，0]上递递减，
∵f（x）是偶函数，
∴f（x）在[0，1]上递增，
即“f（x）在[0，1]上递增”是“f（x）在[1，2]上递减”的充要条件，
故选：B．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性和周期性与单调性之间的关系是解决本题的关键．