Question

（本小题满分14分）已知，函数．
（Ⅰ）当时，
（ⅰ）若，求函数的单调区间；
（ⅱ）若关于的不等式在区间上有解，求的取值范围；
（Ⅱ）已知曲线在其图象上的两点，（）处的切线分别为．若直线与平行，试探究点与点的关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）单调递增区间为，的取值范围是；（2）见解析.

第一问中因为，所以，得到解析式，然后分析函数的单调区间，运用导数的正负来判定即可
第二问中，关于的不等式在区间上有解，等价转化为
不等式在区间上有解，然后利用分离参数m的思想得到取值范围
第三问中，因为的对称中心为，
而可以由经平移得到，
所以的对称中心为,故合情猜测，若直线与平行，则点与点关于点对称．然后加以证明即可。
解：（Ⅰ）（i）因为，所以，        ……………………1分
则， 而恒成立，
所以函数的单调递增区间为．      ……………………4分
（ii）不等式在区间上有解，
即 不等式在区间上有解，
即  不等式在区间上有解，
等价于不小于在区间上的最小值．         ……………………6分
因为时，，
所以的取值范围是．                  ……………………9分
（Ⅱ）因为的对称中心为，
而可以由经平移得到，
所以的对称中心为,故合情猜测，若直线与平行，则点与点关于点对称．    ……………………10分
对猜想证明如下：
因为，
所以，
所以，的斜率分别为，．
又直线与平行，所以，即，
因为，
所以，，   ……………………12分
从而，
所以．
又由上 ，
所以点，（）关于点对称．
故当直线与平行时，点与点关于点对称．        ……………………14分