Question

已知F₁，F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右 焦点，已知点N(-

a2

c

，0)满足

F1F2

=2

NF1

，且|

F1F2

|=2且设A，B上半椭圆上满足

NA

=λ

NB

的两点．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若λ=

1

3

，求直线AB的斜率．

Answer 1

分析：（1）由

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

| =2，知

2c=2 2( a2 c -c)=2c a2=b2-c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）由

NA

=λ

NB

，知A，B，N三点共线，N（-2，0），设直线方程为y=k（x-2），k＞0，由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得

2k2+1

k2

y2+

4y

k

+2=0，由△=(

4

k

)2-8(

2k2+1

k2

) ＞0（k＞0），解得0＜k＜

6

2

．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=

4k

2k2+1

，y1y2=

2k2

2k2+1

，由

NA

=

1

3

NB

，知(x1-2，y1) =

1

3

(x2-2，y2)，y1=

1

3

y2，由此能求出k．

解答：解：（1）由于

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

| =2，
∴

2c=2 2( a2 c -c)=2c a2=b2-c2

，解得

a2=2 b2=1

，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（2）∵

NA

=λ

NB

，∴A，B，N三点共线，
而N（-2，0），设直线方程为y=k（x+2），k＞0，
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得

2k2+1

k2

y2+

4y

k

+2=0，
由△=(

4

k

)2-8(

2k2+1

k2

) ＞0（k＞0），解得0＜k＜

6

2

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=

4k

2k2+1

，y1y2=

2k2

2k2+1

，
∵λ=

1

3

，∴

NA

=

1

3

NB

，
∴(x1-2，y1) =

1

3

(x2-2，y2)，
∴y1=

1

3

y2，
∴

4 3 y2= 4k 2k2+1 1 3 y22= 2k2 2k2+1

，消去y，得

3k2

(2k2+1)2

=

2k2

2k2+1

，
∴k2=

1

4

，
解得k=

1

2

或k=-

1

2

（舍）
故k=

1

2

．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．