Question

【题目】已知函数，.

（1）求证：

（2）若有两个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）计算 ，令，进而由可得在上单调递增，分析导函数的正负可得存在，使得，（*），即得，从而得，从而得证；

（2）函数有两个零点等价于方程有两个不同的解，又等价于有两个不同的解，令，求导，分析函数的单调性和极值即可得解.

（1）证明：的定义域为，，

令，则，

所以在上单调递增，即在上单调递增，

，，

故存在，使得，（*）

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以对，均有，①

由（*）式可得，代入①式得，

又，所以，当且仅当时取“=”，但，故，

故．

（2）解：由题得，

于是函数有两个零点等价于方程有两个不同的解，

因为，所以又等价于有两个不同的解．

令，则，

再令，则，

所以在上单调递增．

又，所以当时，；当时，，

故当时，；当时，，

于是当时，单调递减；当时，单调递增，即 是在上的最小值，

于是，若，即时，则当时，，

当时，，故在上至多有一个零点；

若，即时，则当时，由于，，

，

故在上有且仅有一个零点；

同理，当时，由于，，

，

故在上有且仅有一个零点，即当时，共有两个零点．

综上，当时，有两个零点.