Question

已知数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*)．
（1）设c_n=3n+6，{a_n}是公差为3的等差数列．当b₁=1时，求b_n的通项公式；
（2）设cn=n3，设an=n2-8n．求正整数k，使得对一切n∈N^*，均有b_n≥b_k．

Answer 1

分析：（1）先确定b_n+1-b_n=n+2，由累加法及b₁=1可得bn=

n2+3n-2

2

(n∈N*)
（2）确定bn+1-bn=

n3

2n-7

，由b_n+1-b_n＞0，解得n≥4，即：b₄＜b₅＜b₆＜…，由b_n+1-b_n＜0，解得n≤3，即：b₁＞b₂＞b₃＞b₄，由此可得结论．

解答：解：（1）∵a_n+1-a_n=3，(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*)
∴b_n+1-b_n=n+2．
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+…+（b_n-b_n-1）=1+（1+2）+…+（n-1+2）=

n2+3n-2

2

(n∈N*)
（2）∵an=n2-8n，∴a_n+1-a_n=2n-7，
∵cn=n3，(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*)
∴bn+1-bn=

n3

2n-7

．
由b_n+1-b_n＞0，解得n≥4，即：b₄＜b₅＜b₆＜…
由b_n+1-b_n＜0，解得n≤3，即：b₁＞b₂＞b₃＞b₄
故k=4，使得对一切n∈N^*，均有b_n≥b_k．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的求和，考查恒成立问题，确定数列通项是解题的关键．