Question

命题：公差不为0的等差数列的通项可以表示为关于n的一次函数形式，反之通项是关于n的一次函数形式的数列为等差数列为真，现有正项数列{a_n}的前n项和是S_n，若{a_n}和{

Sn

}都是等差数列，且公差相等，则数列{a_n}的一个通项公式为（　　）

• A．

  2n-1

  4

• B．

  2n+1

  4

• C．2n-1
• D．2n+1

Answer 1

分析：设出等差数列的首项和公差，写出其前n项和公式，再由{

Sn

}都是等差数列写出通项公式，两边平方后由S_n相等列式，并有等式恒成立求出d的值，进一步求出首项，则答案可求．

解答：解：设正项数列{a_n}的公差为d，首项a₁，
Sn=na1+

n(n-1)d

2

，

Sn

=

S1

+(n-1)d=

a1

+(n-1)d
平方得，
Sn=a1+2

a1

(n-1)d+(n-1)2d2
na1+

n(n-1)d

2

=a1+2

a1

(n-1)d+(n-1)2d2．
整理得，n(

d

2

-d2)=2

a1

d-d2-a1，
因为对任意n∈N₊都成立，所以

d

2

-d2=0，又d≠0．
所以d=

1

2

，代入2

a1

d-d2-a1=0得a1=

1

4

．
所以an=a1+(n-1)d=

1

4

+

1

2

(n-1)=

2n-1

4

．
故选A．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，训练了利用等式恒成立求系数的值，考查了计算能力，是中档题．