Question

已知函数f（x）=x²-1（x≤0），数列{a_n}满足a_n=f^-1（a_n-1²）（n≥2）且a₁=-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}的通项bn=

1

an+1+an

，{b_n}的前n项之和为S_n，试比较S_n和

2

3

an的大小．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x²-1（x≤0），得f-1(x)=-

x+1

(x≥-1)，由a_n=f^-1（a_n-1²），知a_n²=n，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由bn=

1

an+1+an

=-

1

n+1 + n

=-(

n+1

-

n

)，知Sn=-[(

2

-1)+(

3

-

2

)+…+(

n+1

-

n

)=1-

n+1

，令Sn-

2

3

an=1-

n+1

+

2

3

n

＞0，解得：n＜

144

25

＜6，由此能够比较S_n和

2

3

an的大小．

解答：解：（1）由f（x）=x²-1（x≤0），
得f-1(x)=-

x+1

(x≥-1)，
又∵a_n=f^-1（a_n-1²）⇒an=-

a 2 n-1 +1

(an≤-1，n≥2)⇒

a

2 n

-

a

2 n-1

=1，
所以{a_n²}是首项a₁²=1，公差为1的等差数列，
故a_n²=n，即an=-

n

．
（2）由（1）得bn=

1

an+1+an

=-

1

n+1 + n

=-(

n+1

-

n

)，
所以Sn=-[(

2

-1)+(

3

-

2

)+…+(

n+1

-

n

)=1-

n+1

，
令Sn-

2

3

an=1-

n+1

+

2

3

n

＞0，
解得：n＜

144

25

＜6，
所以，当1≤n≤5时，Sn＞

2

3

an；
当n≥6时，Sn＜

2

3

an．

点评：本题考查数列与不等式的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．