题目内容

已知双曲线C： $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞0，b＞0），B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足| $数学公式$ |、| $数学公式$ |、| $数学公式$ |成等比数列，过F作双曲线C在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P．
（1）求证： $数学公式$ • $数学公式$ = $数学公式$ • $数学公式$ ；
（2）若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围．

解：（1）l： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 成等比数列，
∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
即 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴b⁴＞a⁴，即b²＞a²，c²-a²＞a²．∴e²＞2，即 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）依题意可表示出l的方程，与渐近线方程联立求得交点P的坐标，根据 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 成等比数列，求得A的坐标，进而表示出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，进而求得 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 进而可知 $\text{[math]}$ ．
（2）把直线l的方程与双曲线方程联立，进而根据韦达定理表示出x₁•x₂根据其小于0，求得a和c的不等式关系求得e的范围．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和对圆锥曲线基础知识的灵活运用．