Question

13．已知函数f（x）=cos²x+2sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$sinxcosx．
（1）求函数f（x）的最大值及此时x的值；
（2）若将函数f（x）的图象沿x轴向右平移m个单位长度后得到的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称，求正实数m的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），根据正弦函数的性质即可解得函数f（x）的最大值及此时x的值；
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=2sin（2x-2m+$\frac{π}{6}$），再由题意结合正弦函数的对称性可得2×$\frac{π}{2}$-2m+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，结合m＞0，由此求得m的最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=cos²x+2sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$sinxcosx
=$\frac{1+cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$sinxcosx+2sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）
=$\frac{1+cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$sin2x-$\frac{1-cos2x}{2}$
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∴当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时，即：x=k$π+\frac{π}{6}$，k∈Z时，f（x）_max=2．
（2）：将函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象向右平移m个单位，
可得函数y=2sin（2x-2m+$\frac{π}{6}$）的图象，
再根据得到的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称，可得2×$\frac{π}{2}$-2m+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
即解得：m=$\frac{π}{3}$-$\frac{kπ}{2}$，k∈z，
再根据m＞0，可得m的最小值为$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基本知识的考查．