Question

已知函数f(x)＝x³＋mx²＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝(x)＋6x是偶函数．

(Ⅰ)求m、n的值；

(Ⅱ)若a＞0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由函数f(x)图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3，①　1分 　　由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得(x)＝3x2＋2mx＋n，　2分 　　则g(x)＝(x)＋6x＝3x2＋(6＋2m)x＋n； 　　而g(x)图象关于y轴对称，所以－＝0，所以m＝－3， 　　代入①得n＝0．　4分 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)得(x)＝3x(x－2)， 　　令(x)＝0得x＝0或x＝2．　5分 　　当x变化时，(x)、f(x)的变化情况如下表：8分 　　由此可得： 　　当0＜a＜1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值； 　　当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值； 　　当1＜a＜3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值； 　　当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．　11分 　　综上得：当0＜a＜1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1＜a＜3时，有极小值－6，无极大值，当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．　12分