Question

某公司建一座长方体仓库，高为5米，占地面积为600平方米（如图所示）中间以隔板隔开成三间，四周的造价为80元/平方米，中间的两块隔板的造价为40元/平方米，仓库顶的造价为260元/平方米，其它造价，厚度等忽略不计．
（Ⅰ）试设计仓库的长与宽，使总造价最低，并求出最低造价；
（Ⅱ）由于地形限制，该仓库的宽不能超过15米，试设计仓库的长与宽，使总造价最低，并求出最低造价．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可以设宽为x米，长为

600

x

米，总造价为y，根据题中的等量关系四周的造价为80元/平方米，中间的两块隔板的造价为40元/平方米，仓库顶的造价为260元/平方米，写出y关于x的解析式，然后利用均值不等式进行放缩，求出最小值；
（Ⅱ）根据题意由于地形限制，该仓库的宽不能超过15米，x有限制范围，此时可以对y进行求导，利用导数判断其单调性，再求出最小值；

解答：解：（Ⅰ）设宽为x米，长为

600

x

米，总造价为y，
y=2（x+

600

x

）×5×80+2x×5×40+260×600
=（3x+

1200

x

）×400+156000≥400×2

3x× 1200 x

+156000=204000，
当且仅当3x=

1200

x

，即x=20时造价最低为：204000元；
（Ⅱ）∵x∈（0，15]，y′=400（3-

1200

x2

）＜0，
∴函数y=（3x+

1200

x

）×400+156000在（0，15]上单调递减，
∴x=15时，y_min=206000元；

点评：本题主要考查了建立函数解析式，利用基本不等式求函数最值的能力，同时考查了运算求解能力，属于中档题．