Question

某地方政府在某地建一座桥，两端的桥墩相距m米，此工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩（包括两端的桥墩）．经预测，一个桥墩的费用为256万元，相邻两个桥墩之间的距离均为x，且相邻两个桥墩之间的桥面工程费用为(1+

x

)x万元，假设所有桥墩都视为点且不考虑其它因素，记工程总费用为y万元．
（1）试写出y关于x的函数关系式；
（2）当m=1280米时，需要新建多少个桥墩才能使y最小？

Answer 1

分析：（1）根据题意设出桥墩和桥面工程量，然后根据题意建立工程总费用与工程量的函数关系．
（2）当m=1280米时，代入已知函数表达式，求出此时的函数表达式，并求导，根据导数与函数单调性的关系求出最值以及此时x的值．

解答：解：根据题意，
需要建(

m

x

+1)个桥墩和

m

x

段桥面工程，
（1）y=256(

m

x

+1)+

m

x

(1+

x

)x=m(

x

+

256

x

)+m+256  (x＞0，

m

x

∈N*)
（2）当m=1280时，y=1280(

x

+

256

x

)+1536，
y′=1280(

1

2 x

-

256

x2

)，
令y′=0得x=64，
当0＜x＜64时，y′＜0；
当x＞64时，y′＞0．
所以当x=64时，
y有最小值16896，
此时要建21个桥墩．
故：需要建21个桥墩才能使y最小．

点评：本题考查函数模型的选择与应用，通过对实际问题的分析，构造数学模型从而解决问题．本题需要构建一个工程总费用与工程量的函数关系．并注明取值范围．需要对知识熟练的掌握并应用，属于基础题．