题目内容

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 $数学公式$ ．
（I）求 $数学公式$ 的值；
（II）若cosB= $数学公式$ ，△ABC的周长为5，求b的长，并求 $数学公式$ 的值．

解：（I）因为 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$
即：cosAsinB-2sinBcosC=2sinCcosB-COSbsinA
所以sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA
所以 $\text{[math]}$ =2
（II）由（1）可知c=2a…①
a+b+c=5…②
b²=a²+c²-2accosB…③
cosB= $\text{[math]}$ …④
解①②③④可得a=1，b=c=2；
所以b=2，由余弦定理可知cosA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，所以sinA= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
分析：（I）利用正弦定理化简等式的右边，然后整理，利用两角和的正弦函数求出 $\text{[math]}$ 的值．
（II）利用（1）可知c=2a，结合余弦定理，三角形的周长，即可求出b的值．利用余弦定理求出cosA，sinA，通过两角和的余弦函数以及二倍角公式，即可求解 $\text{[math]}$ 的值．
点评：本题是中档题，考查正弦定理、余弦定理的应用、两角和的三角函数的应用，函数与方程的思想，考查计算能力，常考题型．