Question

若正数项数列{a_n}的前n项和为Sn，首项a₁=1，点P（

Sn

，S_n+1）在曲线y=（x+1）²上．
（1）求a₂，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设b_n=

1

an•an+1

，Tn表示数列{b_n}的前项和，若Tn≥a恒成立，求Tn及实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，sn+1=(

sn

+1)2，分别取n=1和n=2时，可得

a1+a2=(1+ a1 )2 a1+a2+a3=(1+ a1+a2 )2

可求a₂，a₃
（2）由sn+1=(

sn

+1)2可得

sn

-

sn-1

=1，结合等差数列的通项公式可求s_n，进而可求
（3）由bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和即可求解T_n，结合单调性可求
，T_n的最小值，即可求解a的范围

解答：解：（1）由题意可得，sn+1=(

sn

+1)2
分别取n=1和n=2时，可得

a1+a2=(1+ a1 )2 a1+a2+a3=(1+ a1+a2 )2

由a₁=1可得，a₂=3，a₃=5
（2）由sn+1=(

sn

+1)2可得

sn

-

sn-1

=1
∴{s_n}是以

s1

为首项，以1为公差的等差数列
∴

sn

=1+(n-1)×1=n
∴s_n=n²
当n≥2时，an=n2-(n-1)2=2n-1
∴a_n=2n-1
（3）∵bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

显然T_n关于n单调递增，当n=1时，T_n有最小值T1=

1

3

∵T_n≥a恒成立
∴a≤

1

3

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解通项公式及数列的裂项求和方法的应用，数列的单调性在求解最值中的应用，属于数列知识的综合应用