题目内容

定义
n
x1+x2+…xn
为n个正数x1，x2，…，xn的“平均倒数”．若正项数列{an}的前n项的“平均倒数”为
1
2n+1
，则数列{an}的通项公式为an=（　　）
A．2n+1B．2n-1C．4n-1D．4n+1
设数列{an}的前n项和为Sn，依题意，
n
Sn
=
1
2n+1
，
∴Sn=n（2n+1）=2n2+n，
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n2+n）-[2（n-1）2+（n-1）]=4n-1．
当n=1时，a1=S1=2+1=3，也符合上式；
∴an=4n-1．
故选C．
练习册系列答案
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定义：称
n
x1+x2+…xn
为n个正数x1，x2，…xn的“平均倒数”．若正项数列{Cn}的前n项的“平均倒数”为
1
2n+1
，则数列{Cn}的通项公式为cn=
 
．
定义
n
x1+x2+…xn
为n个正数x1，x2，…，xn的“平均倒数”．若正项数列{an}的前n项的“平均倒数”为
1
2n+1
，则数列{an}的通项公式为an=（　　）
（2011•嘉定区一模）定义x1，x2，…，xn的“倒平均数”为
n
x1+x2+…+xn
（n∈N*）．
（1）若数列{an}前n项的“倒平均数”为
1
2n+4
，求{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足：当n为奇数时，bn=1，当n为偶数时，bn=2．若Tn为{bn}前n项的倒平均数，求
lim
n→∞
Tn；
（3）设函数f（x）=-x2+4x，对（1）中的数列{an}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤
an
n+1
对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．
（2013•嘉定区一模）定义x1，x2，…，xn的“倒平均数”为
n
x1+x2+…+xn
（n∈N*）．已知数列{an}前n项的“倒平均数”为
1
2n+ 4
，记cn=
an
n+1
（n∈N*）．
（1）比较cn与cn+1的大小；
（2）设函数f（x）=-x2+4x，对（1）中的数列{cn}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤cn对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．
（3）设数列{bn}满足b1=1，b2=b（b∈R且b≠0），bn=|bn-1-bn-2|（n∈N*且n≥3），且{bn}是周期为3的周期数列，设Tn为{bn}前n项的“倒平均数”，求
lim
n→∞
Tn．

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