Question

已知函数f(x)＝(x－1)2，g(x)＝4(x－1)，数列{an}是各项均不为0的等差数列，其前n项和为Sn，点(an＋1，S2n－1)在函数f(x)的图象上；数列{bn}满足b1＝2，bn≠1，且(bn－bn＋1)·g(bn)＝f(bn)(n∈N＋)．

(1)求an并证明数列{bn－1}是等比数列；

(2)若数列{cn}满足cn＝，证明：c1＋c2＋c3＋…＋cn<3.

 

Answer 1

见解析

【解析】(1)因为点(an＋1，S2n－1)在函数f(x)的图象上，所以＝S2n－1.

令n＝1，n＝2，得即解得a1＝1，d＝2(d＝－1舍去)，则an＝2n－1.

由(bn－bn＋1)·g(bn)＝f(bn)，

得4(bn－bn＋1)(bn－1)＝(bn－1)2.

由题意bn≠1，所以4(bn－bn＋1)＝bn－1，

即3(bn－1)＝4(bn＋1－1)，所以

所以数列{bn－1}是以1为首项，公比为的等比数列．

(2)由(1)，得bn－1＝n－1.cn＝.

令Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn，

则Tn＝＋＋＋…＋＋，①

Tn＝＋＋＋…＋＋，②

①－②得，Tn＝＋＋＋＋…＋－＝1＋·－＝2－－＝2－.所以Tn＝3－.

所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＝3－<3.