Question

设a为实常数，函数y=2x²+（x-a）|x-a|．
（1）当x=0时，y≥1，试求实数a的取值范围．
（2）当a=1时，求y在x≥a时的最小值；当a∈R时，试写出y的最小值（不必写出解答过程）．
（3）当x∈（a，+∞）时，求不等式y≥1的解集．

Answer 1

分析：（1）把x=0直接代入不等式，化为关于a的不等式，去绝对值后求解a的范围；
（2）把a=1代入函数解析式，去绝对值后利用二次函数的单调性求最小值；对x大于等于a和x小于等于a进行分类，利用二次函数的单调性求出两段函数在a的不同取值下的最小值，取最小值中的最小者；
（3）由y≥1，得3x²-2ax+a²-1≥0，然后利用不等式对应二次方程的判别式小于等于0和大于0分类，特别是当判别式大于0时对不等式所对应的方程的根进一步分类进行求解．

解答：解：（1）因为当x=0时，y≥1，故，-a|a|≥1⇒

a＜0 a2≥1

⇒a≤-1；
（2）当a=1时，y=3x²-2x+1（x≥1）．
函数在[1，+∞）上为增函数，
故y在x≥1的最小值为y=3•1²-2•1+1=2；
当a∈R时，
若x≥a，则y=3x²-2ax+a²，ymin=

2a2    (a≥0) 2a2 3    (a＜0)

．
若x≤a，则y=x²+2ax-a²，ymin=

-2a2   (a≥0) 2a2     (a＜0)

．
综上，当a∈R时，ymin=

-2a2   (a≥0) 2a2 3     (a＜0)

；
（3）x∈（a，+∞）时，由y≥1，得3x²-2ax+a²-1≥0，△=4a²-12（a²-1）=12-8a²
当a≤-

6

2

或a≥

6

2

时，△≤0，x∈（a，+∞）；
当-

6

2

＜a＜

6

2

时，△＞0，得：

(x- a- 3-2a2 3 )(x- a+ 3-2a2 3 )≥0 x＞a

，
讨论得：当a∈(

2

2

，

6

2

)时，解集为（a，+∞）；
当a∈(-

6

2

，-

2

2

)时，
解集为(a，

a- 3-2a2

3

]∪[

a+ 3-2a2

3

，+∞)；
当a∈[-

2

2

，

2

2

]时，
解集为[

a+ 3-2a2

3

，+∞)．

点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想及数学转化思想方法，考查了函数值域的求法，考查了学生的综合运算能力，是中高档题．