Question

设a为实常数，函数f（x）=-x³+ax²-2．
（1）若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为

π

4

，求a的值；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在区间[-1，2]上的最值．

Answer 1

分析：（1）先求出函数f（x）的导函数，然后根据函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率等于1，建立关于a的方程，解之即可；
（2）先求出f′（x）=0，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，得到函数的单调性，进而来确定极值点，通过比较极值与端点的大小从而确定出最值．

解答：解：（1）∵f（x）=-x³+ax²-2
∴f'（x）=-3x²+2ax
由题意得f′(1)=-3+2a=tan

π

4

=1
∴a=2
（2）由（1）得：f（x）=-x³+2x²-2，
∴f'（x）=-3x²+4x=-3x（x-

4

3

），
令f'（x）＜0，并且函数的定义域为：[-1，2]
所以则有f(x)在[-1，0]和[

4

3

，1]递减；f(x)在[0，

4

3

]递增
又有f(-1)=1；f(0)=-2；f(

4

3

)=-

22

27

；f(2)=-2
∴f（x）在[-1，2]的最小值为f（0）=f（2）=-2，最大值为f（-1）=1．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数求闭区间上函数的最值，导数高考新增内容，是常考的知识点，属于基础题．