Question

某同学设计的反射镜（如图1）的纵截面是抛物线的一部分（如图2），光源安装在焦点F处．其中镜口直径AB=80厘米，镜深OC=40厘米；根据实际需要，镜口直径、镜深均需增加10厘米．问光源安装的位置是否发生改变，说明你的理由．

Answer 1

分析：先以反射镜定点为原点，以定点和焦点所在直线为x轴，建立直角坐标系．设抛物线方程为y²=2px，依题意可根据改进前后的点在抛物线上，代入抛物线方程，求得p，进而可求得焦距，答案可得．

解答：解：以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的顶点和焦点所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示：…（2分）
设反射镜的纵截面所在抛物线的方程为y²=2px（p＞0）…（1分）
设计改进前，点（40，40）是抛物线线上的点，则40²=2p•40，解得p=20．…（2分）
所以此时抛物线的焦点（即光源安装的位置）到顶点的距离为

p

2

=10厘米．…（1分）
设计改进后，点（50，45）是抛物线线上的点，则45²=2p•50，解得p=20.25…（2分）．
所以此时的焦点（即光源安装的位置）到顶点的距离为

p

2

=10.125厘米…（1分）．
10.125-10=0.125厘米
综上可知，设计改进前、后的反射镜的光源安装的位置不相同，在原来的基础上加大0.125厘米…（1分）．

点评：本题主要考查抛物线的应用．抛物线在现实生活中应用很广泛，在高考中也占据重要的地位，一定要掌握其基础知识做到活学活用．