Question

已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x²+y²=4截得的弦长为L，若L≥

4

5

5

，则椭圆离心率e的取值范围是（　　）

• A．(0，

  5

  5

  ]
• B．(0，

  2 5

  5

  ]
• C．(0，

  3 5

  5

  ]
• D．(0，

  4 5

  5

  ]

Answer 1

分析：由垂径定理，结合L≥

4

5

5

算出直线l到圆x²+y²=4的圆心的距离d满足d²≤

16

5

，结合点到直线的距离公式建立关于k的不等式，算出k²≥

1

4

．由直线l经过椭圆的上顶点B和左焦点F，可得c=-

2

k

，从而得到a²=4+

4

k2

，利用离心率的公式建立e关于k的关系式，即可求出椭圆离心率e的取值范围．

解答：解：圆x²+y²=4的圆心到直线l：y=kx+2的距离为d=

2

k2+1

∵直线l：y=kx+2被圆x²+y²=4截得的弦长为L，L≥

4

5

5

∴由垂径定理，得2

r2-d2

≥

4 5

5

，
即2

4-d2

≥

4 5

5

，解之得d²≤

16

5

∴

4

k2+1

≤

16

5

，解之得k²≥

1

4

∵直线l经过椭圆的上顶点B和左焦点F，
∴b=2且c=

a2-b2

=-

2

k

，即a²=4+

4

k2

因此，椭圆的离心率e满足e²=

c2

a2

=

4 k2

4+ 4 k2

=

1

1+k2

∵k²≥

1

4

，∴0＜

1

1+k2

≤

4

5

，可得e²∈（0，

2 5

5

]
故选：B

点评：本题给出椭圆的上顶点和左焦点都在直线l上，在l被圆截得弦长范围的情况下求椭圆的离心率，着重考查了点到直线的距离公式、椭圆的标准方程与简单几何性质、函数值域的求法等知识，属于中档题．