Question

已知，若对任意的非负实数a，b，c，f（a），f（b），f（c）为三角形三边，则k的取值范围是________．

Answer 1

-＜k＜4
分析：利用三角形三边的性质，得f（a）+f（b）＞f（c），通过分类讨论求得到三边之间的关系不等式，解出不等式的解集即可．
解答：∵x²+x+1＞0恒成立，f（a），f（b），f（c）为三角形三边，∴f（x）＞0恒成立，即x²+kx+1＞0（x≥0）恒成立
x=0时，结论成立；x＞0时，-k＜x+，∵x＞0，∴x+≥2
∴-k＜2
∴k＞-2
f（x）= （x＞0）
由k＞-2
1°、当k=1时，满足题意；
2°、当k＞1时，f（x）∈（1，1+]，由题意知：1+1＞1+，∴1＜k＜4
3°、当k＜1时，f（x）∈[，1），于是有2×＞1，∴1＞k＞-
综上，实数k的取值范围为-＜k＜4．
故答案为：-＜k＜4．
点评：此题主要考查不等式的求解方法．