Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，为等腰直角三角形，，且．

（1）证明：平面平面．

（2）求直线EC与平面BED所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：解法一利用综合法证明解题：

（1）由已知可知AE⊥AB，又AE⊥AD，所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，又ABCD为正方形，所以DB⊥AC，所以DB⊥平面AEC，而BD平面BED，故有平面AEC⊥平面BED.

（2）如图4-1中，设AC与BD交点为O，所以OE为两平面AEC和BED的交线.过C作平面BED的垂线，其垂足必在直线EO上，即∠OEC为EC与平面BED所成的角.再设正方形边长为2，则OA=，AE=2，所以OE=，EC=，所以在三角形OEC中，利用余弦定理可得 cos∠OEC=，故所求为sin∠OEC=.

解法二利用向量法：以A为原点，AE、AB、AD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图4-2所示，

（1）设正方形边长为2，则E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,2)，D(0,0,2) (0,2,2)，=(0,-2,2)，=(2,0,0)，=(-2,0,2)，从而有，，即BD⊥AC，BD⊥AE，所以BD⊥平面AEC，故平面BED⊥平面AEC.

（2）设平面BED的法向量为，由，得，故取 8分

而=(-2,2,2)，设直线EC与平面BED所成的角为，则有 .

试题解析：解法一：

（1）由已知有AE⊥AB，又AE⊥AD，

所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB， 3分

又ABCD为正方形，所以DB⊥AC， 4分

所以DB⊥平面AEC，而BD平面BED

故有平面AEC⊥平面BED. 6分

（2）设AC与BD交点为O，所以OE为两平面AEC和BED的交线.

过C作平面BED的垂线，其垂足必在直线EO上，

即∠OEC为EC与平面BED所成的角. 7分

设正方形边长为2，则OA=，AE=2，

所以OE=，EC=， 9分

所以在三角形OEC中，

由余弦定理得 cos∠OEC=，故所求为sin∠OEC= 12分

解法二：以A为原点，AE、AB、AD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系． 1分

（1）设正方形边长为2，则E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,2)，D(0,0,2) 2分

(0,2,2)，=(0,-2,2)，=(2,0,0)，=(-2,0,2)，

从而有，，

即BD⊥AC，BD⊥AE，

所以BD⊥平面AEC，

故平面BED⊥平面AEC. 6分

（2）设平面BED的法向量为，

由，得，故取 8分

而=(-2,2,2)，设直线EC与平面BED所成的角为，

则有 12分

考点：1.直线与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直的判定定理；2.直线与平面成角.