Question

【题目】在四棱锥中，底面为矩形，平面，，.以为直径的球与交于点（异于点），则四面体外接球半径______.

Answer 1

【答案】

【解析】

过点作的垂线，垂足即为，可求出，易证平面，从而可得到平面平面，分别取，的中点，，可得，平面，由是直角三角形，可知直线上任意一点到三个顶点的距离相等，作线段的垂直平方线，垂足为，交于点，则点为三角形的外接圆圆心，且为四面体外接球球心，由正弦定理可求得三角形的外接圆半径，即为所求外接球半径，求解即可.

由题意，平面，底面为矩形，，，

可得，，，

过点作的垂线，垂足即为，

，所以，，

因为，，，所以平面，

则，，即.

因为平面，平面，所以平面平面，

分别取，的中点，，则，平面，

因为是直角三角形，所以直线上任意一点到三个顶点的距离相等，

作线段的垂直平方线，垂足为，交于点，则到三个顶点的距离都相等，即四面体外接球球心为，且的外接圆圆心为，

中，，

由正弦定理，，即的外接圆半径为，四面体外接球半径.

故答案为：.